Введение

Суть теоремы невозможности в том, что способ голосования может быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или неравноправия, но не может избежать этих недостатков одновременно. То есть, Эрроу математически доказывает, что реальная демократия не может быть полной.

Для выявления функции общественного благосостояния необходимо так или иначе выявить и согласовать индивидуальные предпочтения. Одним из простейших и само собой разумеющихся способов сделать это является процедура голосования, в ходе которой происходит подсчет предпочитающих одну ситуацию другой, скажем, ситуацию X ситуации Y и, наоборот, ситуацию Y ситуации X, с последующим признанием воли большинства (простого или квалифицированного) выбором всего общества. Этот принцип большинства характерен для принятия важнейших политических решений в демократическом обществе. Он базируется на по существу эгалитаристском принципе «один человек ≈ один голос», отражающем определенную этическую норму.

Очевидно, что ни сам принцип «один голос ≈ один человек», ни основанный на нем способ принятия социально значимых решений большинством голосов не учитывают различий в интенсивности индивидуальных предпочтений. Так, если один индивид слабо предпочитает ситуацию X ситуации Y, а другой сильно предпочитает ситуацию Y ситуации X, то различия в интенсивности их предпочтений никак не отразятся в итогах голосования. Взаимное погашение одного и того же числа голосов «за» и «против», независимо от скрытой за ними интенсивности предпочтений, способствует радикализации тех, чьи предпочтения интенсивно противоположны воле большинства, может побудить их к переходу на экстремистские позиции. А это в свою очередь может привести к трагическим для людей и всего общества последствиям.

Этим политический процесс принятия решений большинством голосов отличается от экономического процесса принятия решений конкурентным рынком, на котором интенсивность индивидуальных предпочтений отражается в относительной высоте индивидуальных цен спроса и предложения. Но этим проблема рациональности общественного выбора, осуществляемого посредством голосования, не исчерпывается.

1. Теорема невозможности К.-Дж. Эрроу: основные положения

Стремление экономистов определить оптимум благосостояния без определения индивидуальных выгод имеет давнюю историю. Теоретики не могли четко разграничить понятия «эффективность» и «справедливость». Это сделал итальянский ученый В. Парето, определив понятие общественного благосостояния. Его концепция оптимального размещения ресурсов основывается на трех допущениях, которые относятся к оценке суждений:

1) каждая личность лучше всего оценивает свое благосостояние;

2) общественное благосостояние определяется благосостоянием отдельных, независимых друг от друга индивидов;

3) благосостояние отдельных личностей нельзя уравнять.

Однако ученый считал, что выводы об экономической политике можно делать только на основе размышлений об эффективности.

В начале 30-х годов ХХ в. американский экономист Абрам Бергсон вывел дискуссию из тупика, предложив оценивать благосостояние с помощью функции общественного благосостояния — множества общественных кривых безразличия, которые ранжируют разные комбинации индивидуальных выгод соответственно системе оценочных суждений о распределении дохода. Однако он не пояснил, кому должны принадлежать такие суждения и как следует учитывать разницу в них. Поэтому концепция общественного благосостояния А. Бергсона несколько оторвана от действительности.

Попытка определить функцию социального благосостояния, учитывая ограничения, отражающие основные этические аксиомы (ценностные установки участников демократического процесса), привела Эрроу к формулировке теоремы невозможности (невозможности демократии).

Автор доказывает, что общество не может найти процедуры принятия непротиворечивых, согласованных решений, если эти решения не отданы на суд одной личности. Это положение иллюстрируется парадоксом голосования — противоречием, которое возникает вследствие того, что голосование на основе принципа большинства не обеспечивает выявление преимуществ общества относительно экономических благ.

К.-Дж. Эрроу сформулировал аксиоматические правила рационального поведения и явно показал, что ни один процесс принятия коллективного решения не отвечает определенным нормам. Согласно теории невозможности Эрроу, не существует демократической социальной функции благосостояния, которая осуществляет связь между индивидуальными преимуществами и общественным выбором — процессом, с помощью которого индивидуальное видение трансформируется в коллективное решение и одновременно отвечает таким требованиям:

1) принцип Парето-оптимальности. Решение не может быть принято, если при этом существует и может быть реализована альтернатива, улучшающая жизнь другим индивидам и никому не ухудшает;

2) переходность. Если социальный выбор А имеет преимущество перед альтернативой Б, а выбор Б — перед альтернативой В, то А лучше, чем В;

3) независимость посторонних альтернатив. Человек выстраивает преимущества независимо от действий, которые на данный момент он не может осуществить;

4) отсутствие диктатора. Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, каждое преимущество которого всегда превышает преимущества всех других членов и становится обязательным элементом социального порядка.

К.-Дж. Эрроу доказал, что четыре условия находятся в противоречии. Итак, ни одна социальная схема благосостояния не может отвечать всем требованиям одновременно.

Отмеченные требования являются важной предпосылкой рациональности индивидуального выбора. Но универсального правила рационального коллективного выбора, которое бы отвечало всем требованиям, нет. Анализ правила большинства доказал, что возможна ситуация зацикливания (то есть при определенной структуре индивидуальных преимуществ голосование может продолжаться бесконечно, не приводя к принятию однозначного решения) при последовательном осуществлении выбора тремя лицами, потому что при увеличении числа критериев упорядочивания растет вероятность того, что результаты окажутся зацикленными.

Но аксиома транзитивности предусматривает выбор только одного из трех вариантов. Чтобы процесс общественного выбора не зашел в тупик, нужно найти приемлемую альтернативу. Однако при отмеченных условиях для произвольной пары альтернатив невозможно подобрать такую коалицию, которая складывалась бы более чем из одного индивида. Это означает, что метод осуществления такого выбора будет диктаторским.

Единое правило построения коллективных решений, отвечающее четырем условиям К.-Дж. Эрроу, является диктаторским (коллективное решение всегда должно совпадать с мнением одного из избирателей). Чтобы избежать этого, необходимо смягчение предпосылок. Несмотря на то, что данные постулаты более четкие, чем может показаться на первый взгляд, они все же слабее, чем это необходимо для удовлетворения разумного критерия распределительной справедливости. Поэтому необходимо смягчение аксиом одинаковости или отказ от одной из них. Но такой отказ означает утрату идеалов индивидуализма и гражданского суверенитета.

Поскольку общественный выбор — это совокупность альтернатив, то К.-Дж. Эрроу вводит аксиому транзитивности. Но на практике достижение цели не требует полного внедрения аксиомы транзитивности. Поэтому А.-К. Сен доказал теорему возможности, заменив транзитивность квазитранзитивностью, или транзитивностью четких преимуществ

(он утверждал, что личная свобода должна иметь приоритет над правилом Парето). Квазитразитивность открывает возможность для навязывания обществу власти олигархии (если существуют одинаковые для всех членов олигархической группы преимущества). Преодоление зацикливания заключается в том, что каждый член олигархической группы фактически владеет правом вето. Это означает также, что переход от транзитивности к квазитранзитивности не устраняет диктаторскую власть вообще, а распространяет ее на олигархическую группу.

Требование неограниченного охвата (полноты и универсальности) подобна постулату свободы выбора: каждый индивид волен выбирать, что захочет, то есть сам определяет собственный порядок преимуществ. И хотя многие выступают за свободу выбора, однако следствием такого выбора может быть или конфликт, или зацикливание. Поэтому этот постулат также способствует демократичности принятия решений.

Несколько «ослабил» теорему невозможности В.-С. Викри. Он добавил к условиям К.-Дж. Эрроу пятое условие — ранжирование (берется не весь континуум от первой до наивысшей точки, а определенный промежуток между ними). С помощью ранжирования он получил возможность путем ограничения индивидуального выбора доказать теорему невозможности.

Существует два способа ее доказательства: ограничение всего множества возможных вариантов (например, конституция защищает права собственности) или ограничение состава сотоварищества теми членами общества, чьи преимущества дают возможность осуществить коллективный выбор (например, делегирование полномочий избирателей членам парламента). Это означает, что при представительской демократии к принятию политических решений допускаются лица с более-менее однородными преимуществами. Это резко снижает вероятность зацикливания (чем однороднее преимущества избирателей, тем менее вероятна возможность возникновения цикла).

Теория клубов. Эта теория является частью теории смешанных благ. Клубное благо — это благо, при потреблении которого имеет место исключение, то есть возможность препятствовать его потреблению некоторой группе людей в отличие от общественного блага. Но оно является неконкурентным, т.к. потребление блага одним лицом не снижает потребления того же блага другими лицами и особенности формирования политических партий называют условия, при которых возможно создание однородного сообщества. Принятие прогнозируемых коллективных решений является более вероятным в сообществах, где исповедуют общие ценности, чем в произвольных группах индивидов.

Если отказаться от постулата о независимости альтернатив, то можно получить большое число процедур принятия решений:

а) простое большинство, при котором для принятия решения необходимо 50 процентов голосов участников плюс один голос;

б) относительным большинством голосов считается количество голосов, больше хотя бы на один голос;

в) квалифицированное большинство должно составлять две трети, три четверти или еще больше от всего состава тех, кто принимает решение;

г) постановляющее голосование.

Если число вариантов равно двум (избрание-неизбрание, принятие-непринятие) и число избирателей непарное, то единым правилом, отвечающим всем пяти условиям, является правило простого большинства.

Итак, теорема невозможности доказывает, что нет такого демократического процесса принятия решений, который бы одновременно отвечал всем пяти сформулированным аксиомам. Поэтому выработать только одно правило голосования невозможно. Решение этой проблемы возможно в случае отказа от аксиомы транзитивности или смягчения постулатов независимости, полноты и универсальности.

На основе сформулированных этических норм, а также аксиом, определяющих коллективный выбор, К.-Дж. Эрроу предложил концепцию демократического выбора, направленную на защиту свободной рыночной конкуренции, которая должна поддерживаться государством. Государство, формируя экономическую стратегию, должна учесть интересы всех граждан.

Работы К.-Дж. Эрроу оказались весомым вкладом в теорию оптимальных запасов, анализ стабильности рыночных моделей, математическое программирование и теорию статистических решений. Распространено мнение, что смысл и значение теоремы невозможности Эрроу, а также теории социального выбора до сих пор не осознаны всецело и теория «опережает» их внедрение. Но все-таки предпринимаются попытки использования теории социального выбора в двух сферах. Одна из них — разработка избирательных систем. Компьютеры способны преодолеть существующие барьеры создания оптимальной избирательной системы. Другая сфера — теория демократии, где теория социального выбора способствует переоценке классических утверждений. Используют теорию социального выбора в политической сфере, при анализе рынка труда и торговой политики.

Роль взглядов К.-Дж. Эрроу в современной теории благосостояния существенна:

1. Ученый стремился ликвидировать одно из наиболее очевидных противоречий маржинализма — между постулатом об индивидуальном поведении и математическом моделировании, которое является частью метода. С одной стороны, все западные экономисты — от Маршалла до Самуэльсона — осуществляют математические операции по индивидуальным функциям полезности. С другой — они опираются на аксиому, что человек субъективен в оценке своего благосостояния и выбирает комбинацию определяющих его факторов, которая, по его мнению, обеспечивает максимум полезности. Особенности объекта анализа (индивидуального экономического поведения) делают бессмысленным или одно, или другое.

По мнению К.-Дж. Эрроу, для обновления внутренней логики теории благосостояния необходимо или создать математические модели индивидуального поведения без посылок на субъективные оценки, или вообще отказаться от математических преобразований.

2. К.-Дж. Эрроу пересмотрел позицию экономистов австрийской школы о принципах рационального поведения. Их критерий, который сводится к оптимизации индивидуального благосостояния, отвечал только индивидуальной функции полезности, но оказался недостаточным для индивидуальной функции преимуществ социальных состояний.

Своей теоремой невозможности К.-Дж. Эрроу доказал, что нет общего правила классификации ситуаций на уровне общества, которое не было бы объединено с определенной обоснованной системой индивидуалистских этических ограничений общественной функции благосостояния. Ученый акцентировал, что ограничения порождают противоречия. Он обосновал невозможность формулирования правила, которое было бы приемлемым для всех случаев, и при этом допускалась бы возможность существования какого-либо нормативного положения для подгруппы эмпирически подобранных случаев.

2. Доказательство теоремы Эрроу

Социальный парадокс,  иллюстрирующий невозможность идеальной структуры голосования в соответствии с некоторыми критериями, например,  эффективностью по Парето. Теорема Эрроу о невозможности утверждает, что не может быть определен четкий порядок предпочтений при соблюдении обязательных принципов справедливого голосования.

Проблема, типичная при проведении выборов, показана в нижеизложенном примере, в котором избирателей просили ранжировать свои предпочтения относительно кандидатов А, B и C:

• 45 голосов А> B> C (45 человек предпочитают А больше B и B больше С)
• 40 голосов B> C> А (40 человек предпочитает B больше C и C больше А)
• 30 голосов C> А> B (30 человек предпочитают С больше А и А больше B)

Кандидат А, имеющий большинство голосов, считает, что он (она) будет победителем. Однако, если B не участвует, победителем станет С, поскольку между выбором С и А больше людей предпочитают C, а не А. (А имело бы 45 голосов, а С будет иметь 70 голосов). Данный пример иллюстрирует суть теоремы Эрроу.

Согласно теореме, не существует процедуры, которая отвечала бы одновременно двум указанным требованиям и двум другим условиям, также представляющимся естественными, если только отсутствует «диктатор», иными словами, если ни один индивид не имеет права единолично принять окончательное решение невзирая на мнения остальных. Формулировка теоремы Эрроу и схема ее доказательства даны в приложении.

Говоря упрощенно, теорема о невозможности обнаруживает, что при любой процедуре выбора, если он на деле является коллективным (отсутствует «диктатор»), могут найтись такие профили предпочтений, для которых не существует устойчивого, не подверженного манипулированию исхода голосования.

С этой точки зрения коллективный выбор более уязвим, чем индивидуальный. Отсутствие коллективного решения, которое не было бы произвольным или манипулируемым, тем вероятнее, чем значительнее, во-первых, несходство индивидуальных позиций и конфликты интересов и, во-вторых, разнородность вопросов, явно или неявно заключенных в одном «пакете», и множественность применяемых критериев.

Рационально действующий политик стремится обеспечить себе поддержку возможно большего числа избирателей.

Её удаётся найти, как правило, придерживаясь центральной части политического спектра (рис. 1).

Рис. 1. Политический спектр

Пусть имеется некоторая совокупность альтернатив, расположенных на одной шкале (рисунок). Это могут быть, например, разные величины совокупных бюджетных расходов или параметры какой-либо конкретной бюджетной программы. Допустим, что обозначенные буквами точки отмечают альтернативы, каждая из которых наиболее предпочтительна для одного из семи голосующих индивидов (или семи одинаковых по численности групп избирателей). Если из трех политиков один защищает альтернативу А, второй – Д, а третий – Г, то на выборах, проводимых в несколько туров (вариант попарного сравнения), первый окажется явно неконкурентоспособным, а второй, в конечном счете, уступит третьему.

Преимущество третьего политика в том, что его позиция совпадает с точкой зрения медианного избирателя, по обе стороны от которого на шкале находится по равному числу альтернатив, поддержанных другими избирателями. Заметим, что позиция медианного избирателя не обязательно расположена точно в центре шкалы; важно, чтобы он занимал срединное положение среди участников голосования. В этом случае ему обеспечена возможность коалиции, по крайней мере, с половиной остальных избирателей, а значит, одобренная им альтернатива получит большинство голосов.

Определяющая роль «медианного избирателя» – реальная и весьма важная тенденция политической жизни и развития общественного сектора. Особенно она заметна в стабильных, сравнительно однородных обществах. Для них характерны, в частности, поочередные победы на выборах двух-трех умеренных партий, программы которых расходятся примерно в тех же пределах, в каких могут колебаться предпочтения «медианного избирателя».

Отмечая существенное значение этой тенденции, следует вместе с тем поставить вопрос, почему ориентация на «медианного избирателя» не полностью предопределяет исход голосований на практике. Дело, прежде всего в том, что при оценке предвыборных программ и документов, выносимых на референдумы, исчезает возможность расположить варианты на единой шкале и указать медианную позицию, поскольку фактически речь идёт о «пакетах» решений и многокритериальном выборе.

Поэтому, если альтернативы располагаются по одной шкале и имеется только один критерий выбора, конфигурация потенциальных коалиций предопределяется положением «медианного избирателя». Интенсивность предпочтений при этом не принимается во внимание, так как различия в интенсивности сами по себе предполагают, по крайней мере, ещё одну шкалу. На ней могут откладываться, например, денежные суммы или время, которые каждый избиратель или группа готовы затратить ради утверждения своей позиции.

Допустим, что избиратель, защищающий альтернативу Д, настолько заинтересован в ее победе, что согласен заплатить крупную сумму потенциальным партнёрам по коалиции или потратить эту сумму на пропаганду своих взглядов. Пусть при этом сторонник альтернативы В имеет слабо выраженное предпочтение, которое можно изменить. Вероятна его коалиция со сторонником Д, в результате чего Г утрачивает медианное положение.

Предпосылка создания коалиции состоит в том, что альтернативы, расположенные на шкале АЖ, фактически рассматриваются избирателями не изолированно, а в более широком контексте.

Существенны способность и стремление не только высказывать, но и активно отстаивать свои предпочтения. Те участники коллективного выбора, которые не довольствуются собственным слабым влиянием на его исход, имеют возможность завоёвывать сторонников.

Существуют два основных пути решения этой задачи: во-первых, повлиять на выбор тех, кто относительно индифферентен и проявляет рациональное неведение, и, во-вторых, обменяться голосами с теми, у кого имеются интенсивные предпочтения на другой шкале альтернатив. Первый путь чаще используется в отношении рядовых избирателей, второй находит применение во взаимоотношениях политически активных групп, парламентских фракций и т. п.

Если вторая и третья группы в нашем примере активно стремятся добиться принятия 0 и 3, они могут не тратить средства на убеждение друг друга, а договориться об обмене голосами. Тогда «пакет», состоящий из 0 и получит устойчивую поддержку.

Заметим, что члены третьей группы, выступающей за развитие здравоохранения, вполне могут быть пацифистами. В этом случае их предпочтения на шкале оборонных расходов концентрируются вблизи нулевой точки. Не исключено, что они не изменили бы своей позиции, даже если вторая группа, отстаивающая интересы обороны, затратила бы немалые средства на пропаганду или подкуп. Но предложение второй группы создать коалицию для продвижения «пакета» принимается третьей группой, поскольку ее члены не видят другой возможности защитить программу поддержки здравоохранения. Иными словами, они жертвуют своими предпочтениями на шкале оборонных расходов ради более интенсивных предпочтений на шкале расходов на здравоохранение. Аналогично ведёт себя и вступающая с нею в коалицию вторая группа, с той разницей, что для неё приоритетны расходы на оборону.

Условием обмена голосами является создание «пакетов» разнородных проблем и дифференцированная интенсивность предпочтений, которые участники голосования проявляют по отношению к различным элементам «пакета».

Каждый из путей завоевания сторонников связан с затратами. Это очевидно, когда речь идёт о привлечении относительно индифферентных индивидов. Однако и обмен голосами предполагает, с одной стороны, трансакционные издержки (расходы на достижение соглашения и обеспечение его выполнения), а с другой – издержки каждой из сторон коалиции, связанные с удовлетворением запросов другой стороны. Так, в рассмотренном примере активные сторонники оборонной программы соглашались вносить вклад в финансирование программы здравоохранения и наоборот.

3. Критика теоремы о невозможности

Эрроу предположил, что в демократическом обществе принятие коллективных решений должно отвечать нескольким самоочевидным требованиям. Два из них повторяют аксиомы полной упорядоченности и транзитивности, необходимые для принятия рациональных индивидуальных решений. Следующие четыре требования обусловлены необходимостью согласования последних и получения коллективных решений.

1. Универсальность. Результативный выбор осуществим при любой конфигурации индивидуальных предпочтений. Это значит, что правило принятия коллективных решений должно работать при любом профиле индивидуальных предпочтений, которые могут быть как одновершинными, так и многовершинными.
2. Парето-совместимость. Правило принятия коллективных решений должно быть совместимо с критерием Парето. Если каждый член общества предпочитает решение X решению Y, то первое социально предпочтительнее второго.
3. Отсутствие диктатуры. Не существует такого индивида (диктатора), предпочтения которого автоматически влекут аналогичные общественные предпочтения, независимо от индивидуальных предпочтений других членов общества.
4. Независимость от других альтернатив. Отношение индивидов к альтернативам X и Y не должно зависеть от их отношения к альтернативе Z, по поводу которой решение не принимается. Например, выбор Иванова или Петрова в депутаты Думы не зависит от отношения избирателей к не баллотирующемуся на этих выборах Сидорову.

Хотя каждое из перечисленных требований представляется разумным и умеренным, Эрроу показал, что невозможно создать алгоритм принятия коллективных решений, удовлетворяющий всем перечисленным требованиям. Этот вывод получил название теоремы Эрроу о невозможности. Она утверждает, что любой коллективный выбор, удовлетворяющий требованиям полной упорядоченности и транзитивности, универсальности, Парето-совместимости и независимости от посторонних альтернатив, превращает одного индивида в диктатора. Или, иначе говоря, общественный выбор не может быть одновременно и рациональным и не диктаторским.

Теорема о невозможности, естественно, породила сомнения о самой возможности принятия рациональных решений на основе демократических принципов и жизнеспособности демократий и вызвала серьезные дискуссии среди экономистов. Следует заметить, что теорема Эрроу не утверждает, что принятие рациональных общественных решений в принципе невозможно. Она говорит лишь о негарантированности этой рациональности. Очевидно, что при идентичности индивидуальных предпочтений решение об общественном предпочтении не вызывает особых трудностей. Поэтому некоторые теоретики говорят о необходимости «единообразия» индивидуальных предпочтений для нормального функционирования демократических обществ. Такое «единообразие» может быть достигнуто посредством манипулирования общественным сознанием. Одним из институтов, преследующих подобную цель, они считают, в частности, систему обязательного образования, контролируемую правительством.

Критики теоремы о невозможности обратили внимание на неразумность предъявления к общественным предпочтениям тех же требований, которым должны удовлетворять индивидуальные предпочтения, а именно требований полной упорядоченности и транзитивности. Предположение, что множество самых разных людей должно иметь коллективные предпочтения, удовлетворяющие тем же требованиям, что и предпочтения каждого из них, представляет, по мнению критиков, пример ошибочного умозаключения по аналогии. Не имеет смысла говорить об общественных предпочтениях, поскольку общество есть не что иное, как совокупность индивидов, каждый из которых имеет собственные интересы и предпочтения. Приписывать обществу характеристики индивида ≈ значит персонифицировать его, а это является логической ошибкой.

Другие, признавая правомерность самой идеи об общественных предпочтениях, критикуют то или иное из сформулированных Эрроу требований. Можно, считают они, отбросить требование полной упорядоченности. Многих членов общества удовлетворил бы критерий Парето-эффективности сам по себе, а выбор между двумя Парето-несравнимыми состояниями может осуществить лишь высшая воля (судьба, положение звезд). Это значит, что Парето-оптимальное состояние, достигаемое в результате действия механизма совершенно конкурентного рынка, не должно подвергаться вмешательству (регулированию) правительственных органов. В любом случае, чтобы трансформировать индивидуальные предпочтения в общественные, нужно отказаться от одного из перечисленных требований или ослабить его. Теорема Эрроу, таким образом, предупреждает экономистов о тех трудностях и возможных ошибках, которые подстерегают их при построении функции общественного благосостояния.

Хотя прошло уже полвека после пионерной работы К. Эрроу, но предположение М. Блауга о том, что «в ближайшем будущем возможно появление междисциплинарной науки на стыке политологии и экономической теории, которая избавит теорию благосостояния от ее недугов»,5 не оправдалось. Быть может, XXI век окажется более благосклонным к теории общественного благосостояния.

Заключение

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу», англ. Arrow’s paradox) — теорема о невозможности «коллективного выбора». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году.

Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат. Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Список использованной литературы

1. Джарратано Д., Райли Г. Экспертные системы. Принципы разработки и программирование. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007.
2. Информатика: Учебник. — 3-є перераб. изд./ Под ред. Н.В.Макаровой. — М.: Финансы и статистика, 2004.
3. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. Учебник. — М.: Университетская книга, Логос, 2008.
4. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем (пер. с англ.) — М. Радио и Связь, 1991.
5. Тельнов Ю.Ф. Интеллектуальные информационные системы в экономике. Учебное пособие. Изд. третье — М.: СИНТЕГ, 2002, 316 с.