Вступ

Математична логіка займає одне з найважливіших місць у сучасній математичній науці. Вона знайшла широке застосування в найрізноманітніших галузях наукових досліджень. Математична логіка з великим успіхом використовується в теорії релейно-контактних схем і в теорії автоматів, тобто в кібернетиці, в лінгвістиці, в економічних дослідженнях, у фізіології мозку і психології тощо.

Математична логіка дуже важлива для вчителів математики. Вона дає можливість краще зрозуміти структурно-логічну схему шкільного курсу математики, глибше вникнути в суть поняття доведення, з’ясувати зміст поняття логічного слідування, встановити зв’язки між різного роду теоремами тощо. Тому що розвиток математичної логіки як науки дав значний вплив у розвитку математичної науки. Значну внесок у розвиток математичної логіки зробили такі вчені як: Платон, Аристотель, Лейбніц, Буль, Гільберт.

Джордж Буль (1815—1864) — один із засновників математичної логіки. Поклавши в основу своїх досліджень аналогію між алгеброю і логікою, він розробив відповідне логічне числення, в якому застосував закони й операції математики (додавання класів, множення тощо). Алгебро-логічний метод дав можливість Булю виявити нові типи висновків, які не враховувались у традиційній силогістиці. Він детально проаналізував закони комутативності, асоціативності, дистрибутивності.

1. Поняття математичної логіки та її основні розділи

Математична логіка по суті є формальною логікою, що використовує математичні методи. Формальна логіка вивчає акти мислення (поняття, судження, умовиводи, доведення) з точки зору їх форми, логічної структури, абстрагуючись від конкретного змісту. Творцем формальної логіки є Арістотель, а першу завершену систему математичної логіки на базі строгої логіко-математичної мови — алгебру логіки, — запропонував Джордж Буль (1815—1864). Логіко-математичні мови і теорія їх смислу розвинуті в роботах Готлоб Фреге (1848—1925), який ввів поняття предикату і кванторів. Це надало можливість застосувати логіко-математичні мови до питань основ математики. Виклад цілих розділів математики на мові математичної логіки та аксіоматизація арифметики зроблені Джузеппе Пеано (1858—1932). Грандіозна спроба Г.Фреге та Бертран Рассел (1872—1970) зведення всієї математики до логіки не досягла основної мети, але привела до створення багатого логічного апарату, без якого оформлення математичної логіки як повноцінного розділу математики було б неможливе.

На межі ХІХ ст. — ХХ ст. були відкриті парадокси, зв’язані з основними поняттями теорії множин (найвідомішими є парадокси Георг Кантор та Б. Рассела). Для виходу з кризи Л. Брауер (1881—1966) висунув інтуїціоністську програму, в якій запропонував відмовитися від актуальної нескінченності та логічного закону виключеного третього, вважаючи допустимими в математиці тільки конструктивні доведення. Інший шлях запропонував Давид Гільберт (1862—1943), який в 20-х роках ХХ ст. виступив з програмою обґрунтування математики на базі математичної логіки. Програма Гільберта передбачала побудову формально-аксіоматичних моделей (формальних систем) основних розділів математики та подальше доведення їх несуперечливості надійними фінітними засобами. Несуперечливість означає неможливість одночасного виведення деякого твердження та його заперечення. Таким чином, математична теорія, несуперечливість якої хочемо довести, стає предметом вивчення певної математичної науки, яку Давид Гільберт назвав метаматематикою, або теорією доведень. Саме з розробки Д. Гільбертом та його учнями теорії доведень на базі розвинутої в роботах Готлоб Фреге та Бертран Рассела логічної мови починається становлення математичної логіки як самостійної математичної дисципліни.

Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком зростає глибоке проникнення ідей та методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику, лінгвістику, філософію. Потужним імпульсом для розвитку та розширення області застосування математичної логіки стала поява електронно-обчислювальних машин. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже є готовий апарат для проектування обчислювальної техніки. Методи і поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців багатьох галузей науки і техніки.

Істотний внесок у розвиток математики й логіки, викликаний як прагненням зблизити актуальну і потенційну нескінченності, так і потребами практики, належить відомому американському вченому Л.А. Заде, який став основоположником нечіткої логіки. Стосовно некласичних підмножин класичних множин він зробив базовими поняттями “нечіткість”, “неясність”, “правдоподібність”, “випадковість”, “можливість”. Як зазначає відомий французький математик А. Кофман, у самому поєднанні термінів “нечіткий” і “логіка” криється щось незвичне. Однак застосування апарату нечіткої логіки вже дало змогу успішно розв’язувати цілий клас важливих практичних завдань.

Реальне життя дає широкі можливості досить часто зустрічатися з ситуаціями і проблемами, в яких просто необхідно враховувати неясність і неточність інформації про явища і процеси навколишнього світу, і тут теорія Заде дозволяє дати хоча б схематичний начерк розв’язання таких проблем. Заде протиставляє двозначній і навіть многозначній логіці логіку з нечіткою істинністю, нечіткими зв’язками і нечіткими висновками. На його переконання, саме така логіка, ще не досить вивчена, відіграє основну роль у здатності людського мислення вибирати з широкого інформаційного потоку лише ті відомості, які мають хоча б посереднє відношення до розв’язуваної проблеми. У першу чергу це стосується здатності людини вибирати корисну інформацію з повідомлень, сформульованих за допомогою природної мови.

2. Елементи математичної логіки

Висловлюванням називають розповідне речення, про яке можна сказати, що воно або істинне, або фальшиве, але не одне й інше разом. Розділ логіки, що вивчає висловлювання та їхні властивості, називають пропозиційною логікою, або логікою висловлювань. Уперше систематичне викладення логіки було зроблене грецьким ученим Аристотелем понад 2300 років тому.

Приклад 1.1. Наведемо приклади речень.

1. Сніг білий.
2. Київ — столиця України.
3. х+1=3.
4. Котра година?
5. Читай уважно!

Два перших речення є висловлюваннями, останні три — ні. Третє речення набуває істинне або фальшиве значення залежно від значення змінної х, четверте та п’яте речення — не розповідні.

Значення «істина» або «фальш», які надані деякому висловлюванню, називають значенням істинності цього висловлювання. Значення «істина» позначають літерою Т (від англійського truth), а «фальш» — літерою F (від false). Для позначення висловлювань використовують малі латинські букви як з індексами, так і без них. Символи, що використовують для позначення висловлювань, називають атомарними формулами, або атомами.

Приклад 1.2.

1. р: «Сніг білий».
2. g: «Київ — столиця України».

Тут символи р, g атомарні формули.

Багато речень утворюють об’єднанням одного або декількох висловлювань. Отримане висловлювання називають складним висловлюванням. Його утворюють із наявних висловлювань застосуванням логічних зв’язок. Такі побудови вперше розглянуто 1845 р. у книзі англійського математика Д.Буля «The Laws of Truth».

Розглянемо питання побудови нових висловлювань з тих, що ми вже маємо. Для цього в логіці висловлювань використовують п’ять логічних зв’язок: заперечення (читають «не» та позначають «¬»), кон’юнкцію (читають «і» та позначають «»), диз’юнкцію (читають «або» та позначають «»), імплікацію (читають «якщо…, то» та позначають «→») та еквівалентність (читають «тоді й лише тоді» та позначають «~»).

Приклад 1.3.

1. Сніг білий і небо теж біле.
2. Якщо хороша погода, то ми їдемо відпочивати.

У наведених прикладах логічні зв’язки — це «і» та «якщо…, то».

Приклад 1.4. Розглянемо прості висловлювання, які позначимо:

р: «Висока вологість», g: «Висока температура», r: «Ми почуваємо себе добре». Тепер речення «Якщо висока вологість та висока температура, то ми не почуваємо себе добре» можна записати у вигляді складного висловлювання ((pg)→(¬r)).

У логіці висловлювань атом p або складне висловлювання називають правильно побудованою формулою, або формулою. При вивченні формул розглядають їх два аспекти — синтаксис та семантику.

Синтаксис — це сукупність правил, які дозволяють будувати формули та розпізнавати правильні формули серед послідовностей символів.

Формули у логіці висловлювань визначають за такими правилами:

1. Атом є формулою.
2. Якщо р формула, то (¬p) — теж формула.
3. Якщо р та g — формули, то (рg), (рg), (р→g), (¬g) — формули.
4. Жодних інших формул, крім породжених застосуванням вказаних вище правил, немає.

Формули, так само як і атоми, позначають малими латинськими буквами з індексами або без них.

Приклад 1.5. Вирази (р→), (р), (р¬), (g) — не формули.

Якщо не виникає непорозумінь, то деякі пари круглих дужок можуть бути випущені.

Приклад 1.6. Вирази рg, р→g є формулами (рg) та (р→g), відповідно.

Семантика — це сукупність правил, які надають формулам значення істинності.

Нехай p та g — формули. Тоді значення істинності формул (¬p), (рg), (рg), (р→g) та (р~g) так пов’язані зі значеннями істинності формул р та g.

1. Формула (¬р) істинна, коли р фальшива, і фальшива, коли р істинна. Її читають «не р», або «це не так, що р» та називають запереченням р. Замість (¬р) заперечення р позначають також . У такому разі знак заперечення одночасно відіграє роль дужок.
2. Формула (рg) істинна, якщо р та g одночасно істинні. У всіх інших випадках (рд) фальшива. Формулу (рg) читають «р і g» та називають кон’юнкцією формул р та g.
3. Формула (рg) істинна, якщо істинна принаймні одна з формул р або g. В іншому випадку (рg) — фальшива. Формулу (рg) читають «р або g» та називають диз’юнкцією формул р та g.
4. Формула (р→g) фальшива, якщо р істинна, а g — фальшива. У всіх інших випадках (р→g) істинна. Формулу (р→g) читають «якщо р, то g», «з р випливає g», або «р лише, якщо g» та називають імплікацією. Тут атом р називають припущенням імплікації, а g — висновком імплікації.
5. Формула (р~g) істинна, якщо р та g мають однакові значення істинності. У всіх інших випадках (р~g) — фальшива. Формулу (р~g) читають «р тоді й лише тоді, коли g» або ″р еквівалентне g» та називають еквівалентністю формул р та g.

Семантику логічних зв’язок зручно задавати за допомогою таблиць, якими визначають значення істинності формул за значеннями істинності атомів у цих формулах. Такі таблиці називають таблицями істинності. Семантику введених логічних зв’язок у формі таблиць істинності надано у табл. 1.

Таблиця 1

р	g	(¬p)	(pg)	(рg)	(p→g)	(p~g)
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

 

Приклад 1.7. Знайдемо заперечення висловлювання «Сьогодні п’ятниця». Таке заперечення — «Це не так, що сьогодні п’ятниця». Це речення також можна сформулювати як «Сьогодні не п’ятниця» або «П’ятниця не сьогодні». Зауважимо, що речення, які пов’язані з часовою змінною, не є висловлюваннями доти, доки не визначений момент часу. Це ж стосується й змінних у реченнях, які характеризують місце або особу, до вказування відповідного місця або конкретної особи.

Приклад 1.8. Знайдемо кон’юнкцію висловлювань p та g, де р є висловлюванням «Сьогодні п’ятниця», а g — висловлюванням «Сьогодні падає дощ». Кон’юнкцією цих висловлювань є висловлювання «Сьогодні п’ятниця і сьогодні падає дощ». Це висловлювання істинне у дощову п’ятницю і фальшиве не в п’ятницю або у не дощову п’ятницю.

Приклад 1.9. Що є диз’юнкцією висловлюваньg та p, які визначені у прикладі 1.8? Диз’юнкцією висловлювань p та g, є висловлювання pg «Сьогодні п’ятниця або падає дощ». Це висловлювання істинне в будь-яку п’ятницю або в дощовий день. Дощова п’ятниця також долучається. Це висловлювання фальшиве тільки в одному випадку — у не дощову п’ятницю.

Логічна зв’язка «диз’юнкція» відповідає одному з двох способів уживання слова «або» в українській мові. Диз’юнкція істинна, якщо істинне принаймні одне з двох висловлювань. Наприклад, її використовують у реченні «Лекції з логіки можуть відвідувати студенти, які прослухали курси математичного аналізу або дискретної математики». Зміст цього речення полягає в тому, що лекції можуть відвідувати як студенти, які прослухали обидва курси, так і ті студенти, які прослухали тільки один з цих курсів. Інший спосіб використання диз’юнкції — це альтернативне «або». Для прикладу, така диз’юнкція відповідає реченню «Лекції з логіки можуть відвідувати студенти, які прослухали один з двох курсів — математичний аналіз або дискретну математику». Зміст цього речення полягає в тому, що студенти, які прослухали обидва ці курси, вже не повинні слухати лекцій з логіки. Аналогічно, якщо в меню вказано «Закуску або салат подають з першою стравою», то це майже завжди означає, що з першою стравою подадуть або закуску, або салат, але не обидві страви. Тобто, це альтернативне, а не звичайне «або», його позначають «». Значення істинності альтернативного «або» наведено у табл. 2.

Таблиця 2

p	g	pg
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

 

Імплікацію, як логічну зв’язку, ще називають умовним реченням. Щоб зрозуміти значення істинності імплікації, треба розуміти її як зв’язок обов’язкового та очікуваного. Для цього розглянемо речення «Якщо ви виконаєте всі завдання, то отримаєте відмінну оцінку». Це означає, що якщо студенти виконали всі завдання, то вони отримають відмінну оцінку. Якщо ж студенти не виконали всіх завдань, то вони можуть отримати оцінку «відмінно», а можуть і не отримати її, залежно від інших обставин. Однак, якщо студенти зробили всі завдання, але викладач не поставив оцінку «відмінно», то студенти відчуватимуть себе ображеними. Останній випадок відповідає ситуації, коли p істинне, а g фальшиве в імплікації p→g , де p — припущення імплікації «Ви виконаєте всі завдання», а g — її висновок «Ви отримаєте відмінну оцінку».

Визначення імплікації дещо інше від розуміння її в природній мові, де її вживають для вказання причинно-наслідкового зв’язку. Для прикладу, речення «Якщо буде сонячно, то ми підемо на пляж» — умовне, яке вживають у звичайній мові. Це речення залишається істинним до того моменту, коли настане сонячний день, але ми не підемо на пляж. За означенням імплікації умовне речення «Якщо сьогодні п’ятниця, то 2+3=5» істинне, оскільки її висновок істинний. При цьому значення істинності припущення імплікації тут не має відношення до висновку. Імплікація «Якщо сьогодні п’ятниця, то 2+3=6» істинна щодня, крім п’ятниці, хоча 2+3=6 фальшиве. Останні дві імплікації ми не вживаємо у природній мові (хіба що, як жарт), оскільки немає змістовного зв’язку між припущенням та висновком у кожному з наведених умовних речень.

Конструкція IF-THEN , яку використовують в алгоритмічних мовах, відрізняється від імплікації у логіці. В алгоритмічних мовах цю конструкцію використовують у вигляді «ІF р ТНЕN S «, де р висловлювання, а S — програмний сегмент, що складається з одного або багатьох операторів. Програмний сегмент S виконують, якщо р істинне, та не виконують, якщо p фальшиве.

Для знаходження значення істинності складного висловлювання потрібно надати значення істинності всім атомам, які містить формула. Надання значень істинності всім атомам формули називають її інтерпретацією. У разі обчислення значень істинності формул, які зображають складні висловлювання, потрібно знаходити значення логічних зв’язок згідно з правилами, визначеними в табл. 1. Послідовність обчислень визначають парами дужок, які містить складне висловлювання. Якщо формула має n атомів, то існує 2ⁿ способів надати значення істинності її атомам, тобто така формула має 2ⁿ інтерпретацій, а всі її значення можна звести в таблицю істинності з 2ⁿ рядками. Формулу, яка містить n атомів, називають n-місною. У разі n=1 формула одномісна.

Формулу f називають виконаною , якщо існує принаймні одна інтерпретація, у якій f набуває значення Т. У такому разі кажуть, що формула f виконується (або виконана) у цій інтерпретації.

Приклад 1.10. Розглянемо формулу (рg)→(р~). Оскільки кожному з атомів р, g та r можна надати 2 значення — F або Т, то задана формула має 2³=8 інтерпретацій. Для прикладу, обчислимо значення істинності заданої формули для значень істинності атомів p, g та r, які дорівнюють F, Т та F, відповідно. Це задає одну з інтерпретацій формули. Тоді (рg) має значення F, оскільки р фальшиве;  має значення Т, оскільки r фальшиве; (р~r) фальшиве, оскільки р фальшиве, а  істинне; нарешті ((рg)→(р~)) істинне, оскільки (рg) фальшиве. Отже, задана формула виконується у цій інтерпретації, оскільки набуває значення Т.

Формулу f логіки висловлювань називають загальнозначущою, або тавтологією, якщо вона виконується в усіх інтерпретаціях (позначають ╞f). Формулу, фальшиву в усіх її інтерпретаціях, називають заперечуваною, невиконанною, або протиріччям.

Оскільки кожна формула логіки висловлювань має скінченну кількість інтерпретацій, то завжди можна перевірити її загально-значущість чи заперечуваність знаходженням її значень істинності в усіх інтерпретаціях.

Отже математична логіка виникла як результат взаємодії двох наук – математики і логіки, спільність яких полягала в тому, що символічна логіка абстрагується від конкретного змісту висловлювань, розкриває більш загальні закономірності мислення і на цьому підгрунті дає можливість не тільки констатувати те, чого вже досягло мислення у своєму розвитку, а й виявити його перспективні можливості. У цьому плані слушним є зауваження німецького логіка Г. Клауса про те, що основні закони традиційної логіки – закон тотожності, закон суперечності, закон виключеного третього та закон достатньої підстави – не вичерпують усієї множини логічних законів і тому не охоплюють всіх можливостей мислення. Це справді так. Кожна наука в міру свого розвитку нагромаджує фактичний матеріал, який для свого осмислення потребує більш досконалих методів. У логіці такими є, зокрема, методи математики. Саме метод формалізації дає змогу перевести дослідження процесів мислення на строгу мову символів, здійснити необхідні узагальнення, встановити нові закономірності, без яких логіка не може розвиватися далі.

Розвиток логіки значною мірою пов’язаний з потребами її практичного застосування, з проблемами науки і техніки, які потребують нових підходів і методів для свого розв’язання. Так, поява і широке використання релейних пристроїв зумовили необхідність вивчення закономірностей функціонування і оптимізації їхньої структури.

Висновки

Математична або символічна логіка  – другий етап розвитку вивідного знання. Вона вивчає ті ж закони мислення, що і традиційна логіка, але йде далі в абстрагуванні. В математичній логіці використовують математичні методи і спеціальний апарат символів і досліджують мислення за допомогою формалізованих мов. В такий спосіб стає можливим відкривати і вивчати нові закони мислення, з якими маємо справу, розв’язуючи складні логічні задачі в математиці, кібернетиці, проектуванні і роботі комп’ютерної техніки.

Сучасна символічна (математична) логіка являє собою подальший розвиток традиційної формальної логіки. Саме успіхи математичної логіки перетворили стару формальну логіку на струнку науку з точними поняттями і послідовними доведеннями. Для математичної логіки характерним є вивчення законів і форм мислення за допомогою методів математики і використання «мови символів» (знаків), що дає можливість зробити логіку точною наукою, а думку, виражену в символах математичної логіки, – чіткою і однозначною. Мова символів, певною мірою застосовувана ще Арістотелем, на сучасному етапі набула значного поширення, в зв’язку з чим термін «символічна логіка» використовується тепер як синонім математичної логіки.

Список використаної літератури

1. Буковська О. Математична логіка. — Х. : Видавнича група «Основа», 2005. — 174 с.
2. Гладунський В. Вища математика й елементи логіки: означення, формули, приклади: навчальний посібник/ Василь Гладунський; Міністерство освіти і науки України, ЛБІ, НБУ. — Вид. 2-ге, доп.. — Львів: Афіша, 2008. — 502 с.
3. Євладенко В. М., Халецька З. П., Нарадовий В. В.. Математична логіка та теорія алгоритмів: навч.-метод. посіб. / Кіровоградський держ. педагогічний ун-т ім. Володимира Винниченка. — Кіровоград : КОД, 2009. — 116с.
4. Лиман Ф. Математична логіка і теорія алгоритмів: Навч. посібник для студ. фіз.-мат. спец. пед. вузів / Інститут змісту і методів навчання — Суми : Слобожанщина, 1998. — 152с.
5. Нікітченко М. Математична логіка: Навч. посібник / Київський національний ун-т ім. Тараса Шевченка. — К.: ВПЦ «Київський університет», 2003. — 119 с.
6. Поліщук О. Математична логіка / Ольга Поліщук, Олег Чайчук. — Харків: Основа: ПП «Тріада+», 2007. — 111 с.
7. Хромой Я. Математична логіка: навч. посібник для фіз.-мат. фак. пед. ін-тів/ Яків Хромой. — К.: Вища школа, 1983. — 208 с.